已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值．（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值．
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=

1

2

x²-alnx，∴f'（x）=x-

a

x

，其中（x＞0）
∵f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
∴f'（2）=2-

a

2

=1，解之得a=2，
由此可得函数表达式为f（x）=

1

2

x²-2lnx，得f（2）=2-2ln2
∴切点（2，2-2ln2）在直线y=x+b上，可得2-2ln2=2+b，解之得b=-2ln2
综上所述，a=2且b=-2ln2；
（2）∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f'（x）≥0，即x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立
结合x为正数，可得a≤x²在（1，+∞）上恒成立
而在区间（1，+∞）上x²＞1，故a≤1
∴满足条件的实数a的取值范围为（-∞，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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