已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，使其导数f‘（x）＞0的x的取值范围为（1，3），求：（1）f（x）的解析式；（2）x∈[2，3]，求g（x）=f‘（x）+6（m-2）x的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，使其导数f‘..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，使其导数f'（x）＞0的x的取值范围为（1，3），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）x∈[2，3]，求g（x）=f'（x）+6（m-2）x的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c＞0的x的取值范围为（1，3），
∴

a＜0

-

2b

3a

=1+3

c

3a

=1×3

，∴b=-6a，c=9a，
∴f′（x）=3ax²-12ax+9a=3a（x²-4x+3）=3a（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得1＜x＜3；令f′（x）＜0，解得x＞3，或x＜1．
列表如下：
魔方格

由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极小值，∴f（1）=-4，即a-6a+9a=-4，解得a=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-9x．
（2）由（1）可得：g（x）=-3x²+12x-9+6（m-2）x
=-3x²+6mx-9
=-3（x-m）²+3m²-9．
①当2≤m≤3时，函数g（x）在区间[2，3]上有：g（x）_max=g（m）=-3（m²-2m²+3）=3m²-9．
②当m＜2时，g（x）在[2，3]上单调递减，∴g（x）_max=g（2）=12m-21．
③当m＞3时，g（x）在[2，3]上单调递增，∴g（x）_max=g（3）=18m-36．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，使其导数f‘..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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