设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4
=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=（sinx-t）²+4t³-3t+4，
又由|t|≤1，可得，当sinx=t时，（sinx-t）²取得最小值，
此时函数f（x）取得最小值，即g（x）=4t³-3t+4，
（2）g（x）=4t³-3t+4，则g′（x）=12t²-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±

1

2

，
列表如下：

t

（-1，-

1

2

）

-

1

2

（-

1

2

，

1

2

）

1

2

（

1

2

，1）

g′（t）

+

0

-

0

+

g（t）

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

易得g（x）在区间（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）上为增函数，在区间（-

1

2

，

1

2

）上为减函数，
当t=-

1

2

时，g（t）取极大值为4，
当t=

1

2

时，g（t）取极小值为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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