已知R上的函数f（x）=13ax3+12bx2+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．（1）证明：0≤ba＜1；（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且-数学试题及答案

1、试题题目：已知R上的函数f（x）=13ax3+12bx2+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知R上的函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．
（1）证明：0≤

b

a

＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．

试题来源：烟台三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：求导函数，可得f′（x）=ax²+bx+c，
∵函数在x=1时取得极值，
∴a+b+c=0，
∵函数在x=1时取得极值，
∵a＜b＜c，
∴a＜b＜-（a+b），
∴-

1

2

＜

b

a

＜1
∵切线斜率为-a，则关于x的方程f′（x）=-a有根，
即ax²+bx-b=0有根，
∴b²+4ab=b（4a+b）≥0
∴

b

a

≤-4或

b

a

≥0
∵-

1

2

＜

b

a

＜1
∴0≤

b

a

＜1；
（2）证明：方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0
∴b²+4a（a+b）＞0
∵f′（1）=0
∴方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0的两根为1和-

b

a

-1
当且仅当-

b

a

-1＜x＜1时，f′（x）＞0
∴f（x）在[-

b

a

-1，1]上为增函数，
∴1≥t＞s≥-

b

a

-1＞-2且0＜t-s≤

b

a

+2＜3；
（3）若f′（x）+a=ax²+bx-b=a（x2+

b

a

x-

b

a

）＜0对a、b恒成立，
设t=

b

a

∈[0，1），则g（t）=（x-1）t+x²＞0对t∈[0，1）恒成立，
即g（1）≥0，g（0）＞0恒成立
解得x≤

-1-

5

2

或x≥

-1+

5

2

，
∴k≥

-1+

5

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知R上的函数f（x）=13ax3+12bx2+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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