已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞1e-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f(x)min=

-

1

e

，0＜t＜

1

e

tlnt，t≥

1

e

．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：