定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）过点P（1，-8）的切线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6 ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1=-

-

c

3a

，x2=

-

c

3a

即

-

c

3a

=2，c=-12a ②
由①②得a=

2

3

，c=-8
故f（x）=

2

3

x3-8x
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（III）设切点Q（x₀，y₀），则点Q处的切线方程为：y-y0=(

2x

20

-8)(x-x0) ③
注意到y0=

2

3

x

30

-8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-

2

3

x

30

+8x0=(

2x

20

-8)(1-x0)，
整理得：2

x

30

-3

x

20

=0，即x₀=0或x0=

3

2

代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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