已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

（x＞0）---------（2分）
若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）-----------------------------（4分）
若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞

a

，当f′（x）＜0时，得0＜x＜

a

，
所以此时递增区间为：（

a

，+∞），递减区间为：（0，

a

）---------------------（6分）
（Ⅱ）g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），设h（x）=x²+2x-a（x＞0）
若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，
∴（3-a）（e²+2e-a）＜0
∴3＜a＜e²+2e，
同时g（x）仅在x=e处取得最大值，
∴只要g（e）＞g（1）即可
得出：a＜

e2

2

+2e-

5

2

-------------------------------------------------------------------（13分）
∴a的范围：（3，

e2

2

+2e-

5

2

）--------------------------------------------------------------------（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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