已知m∈R，函数f（x）=mx2-2ex．（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：-e＜f（a）＜-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知m∈R，函数f（x）=mx2-2ex．（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：-e＜f（a）＜-2．

试题来源：大连一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x²-2e^x，f'（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g'（x）=2-e^x，
当x∈（-∞，ln2）时，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，+∞）．
（Ⅱ）（i）若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），
则a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的两不等实根．
∵x=0显然不是方程的根，∴m=

ex

x

有两不等实根．
令h(x)=

ex

x

，则h′(x)=

ex(x-1)

x2

，
当x∈（-∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
要使m=

ex

x

有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，
∴m的取值范围是（e，+∞）．
（ii）∵f（a）=ma²-2e^a，且f'（a）=2ma-2e^a=0，
∴f(a)=

ea

a

?a2-2ea=a?ea-2ea=ea(a-2)，
令g（x）=f′（x）=2mx-2e^x，g′（x）=2（m-e^x），
∵g（0）=-2＜0，g（x）在区间（0，lnm）上单调递增，g（x）在（lnm，+∞）上递减，g（1）=2（m-e）＞0，∴a∈（0，1），
设φ（x）=e^x（x-2）（0＜x＜1），则φ'（x）=e^x（x-1）＜0，φ（x）在（0，1）上单调递减，
∴φ（1）＜φ（a）＜φ（0），即-e＜f（a）＜-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知m∈R，函数f（x）=mx2-2ex．（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：