已知a＞0，函数f（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=4x2-72-x，是否存在实数a≥1，使得对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，满足f（x1）=g（x0）？-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，函数f（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]．（1）求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知a＞0，函数f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=

4x2-7

2-x

，是否存在实数a≥1，使得对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，满足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3（x²-a²）=3（x-a）（x+a），
由f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a，
∴a＞0，∴x₁＞x₂，
当0＜a＜1，x∈[0，1]时，由f′（x）≥0，得a≤x≤1，所以f（x）在[a，1]上为增函数，
由f′（x）≤0，得0≤x≤a，所以f（x）在[0，a]上为减函数．
当a≥1，x∈[0，1]时，由f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上为减函数．
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[a，1]上为增函数，在[0，a]上为减函数．当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数．
（2）设当x∈[0，1]时，f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，若存在实数a≥1，则必有A?B，
当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数，所以f（x）max=f（0）=-2a，f（x）min=f（1）=1-3a²-2a，即A=[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，令g′（x）＞0得

1

2

＜x＜

7

2

，令g′（x）＜0得x＜

1

2

，或x＞

7

2

，
所以g（x）min=f（

1

2

）=-4，又g（0）=-

7

2

，g（1）=-3，所以g（x）max=-3，从而B=[-4，-3]，
由A?B得，

1-3a2-2a≥-4

-2a≤-3

，即

-

5

3

≤a≤1

a≥

3

2

，不等式无解，
所以不存在实数a≥1满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，函数f（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]．（1）求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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