已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数．（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数．（1）若f（x）在x=1处有极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞）
又f^(x)=2ax+

2

x+1

∴由题意得f′（1）=2a+1=0
∴a=-

1

2

（2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0
∴2ax＞-

2

1+x

，a＞

1

-x2-x

=

1

-(x+

1

2

)2+

1

4

∵x∈[2，3]，∴-(x+

1

2

)2+

1

4

的最小值为-(3+

1

2

)2+

1

4

=-12
∴

1

-(x+

1

2

)2+

1

4

的最大值为-

1

12

又因a=-

1

12

时符合题意∴a≥-

1

12

为所求
解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0即

ax2+ax+1

x+1

＞0
∵1+x＞0，
∴ax²+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax²+ax+1
（1）当a=0时，1＞0恒成立
（2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x）_min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴0＞a＞-

1

12

（
（3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x）_min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴a＞-

1

6

，即a＞0
又因a=-

1

12

时符合题意
综上可得a≥-

1

12

为所求

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数．（1）若f（x）在x=1处有极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：