已知a，b∈R+，函数f(x)=ax+1+bx+1ax+bx(x∈R)．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）比较a2+b2a+b与ab的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a，b∈R+，函数f(x)=ax+1+bx+1ax+bx(x∈R)．（1）判断函数f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知a，b∈R+，函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）比较

a2+b2

a+b

与

ab

的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数，证明如下：
设x＜y，则x-y＜0，f(x)-f(y)=

(a-b)(ax-y-bx-y)ayby

(ax+bx)(ay+by)

，
①当a=b时，f（x）为常数函数，此时不单调．
②若a＞b，则a-b＞0，a^x-y＜b^x-y，a^x-y-b^x-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．
③当a＜b，则a-b＜0，a^x-y＞b^x-y，a^x-y-b^x-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．
（2）

a2+b2

a+b

-

ab

=

a2+b2-a

ab

-b

ab

a+b

=

a2+b2-a

3

2

b

1

2

-a

1

2

b

3

2

a+b

=

(a

3

2

-b

3

2

)(a

1

2

-b

1

2

)

a+b

，
因为幂函数x

3

2

，x

1

2

在（0，+∞）上单调递增，具有相同的单调性．
所以当a=b时，

a2+b2

a+b

=

ab

．
当a≠b时，

a2+b2

a+b

＞

ab

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a，b∈R+，函数f(x)=ax+1+bx+1ax+bx(x∈R)．（1）判断函数f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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