设函数f（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））（其中x0＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知g（x）=e^x-ex，
所以g'（x）=e^x-e，…（1分）
由g'（x）=e^x-e=0，得x=1，
所以，在区间（-∞，1）上，g'（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；
在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增； …（4分）
即函数g（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=e^x，
所以曲线y=f（x）在点P处切线为l：y-ex0=ex0(x-x0)．…（6分）
切线l与x轴的交点为（x₀-1，0），与y轴的交点为(0，ex0-x0ex0)，…（8分）
因为x₀＜0，所以S=

1

2

(1-x0)(1-x0)ex0=

1

2

(1-2x0+

x

20

)ex0，
∵S′=

1

2

ex0(

x

20

-1)，
∴在区间（-∞，-1）上，函数S（x₀）单调递增，在区间（-1，0）上，函数S（x₀）单调递减．…（10分）
所以，当x₀=-1时，S有最大值，此时S=

2

e

，
所以，S的最大值为

2

e

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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