已知函数f（x）=lnx-ax2+x，（a＞0）（I）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数；（II）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax2+x，（a＞0）（I）求a的最大值，使函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax²+x，（a＞0）
（I）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数；
（II）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

试题来源：唐山三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意可得：f′（x）=

1

x

-2ax+1=

-2ax2+x+1

x

，（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，所以此时f（x）在（0，+∞）内是单调递增．
当a＞0时，方程-2ax²+x+1=0的判别式△=1+8a＞0，此时它有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
因为x₁x₂=-

1

2a

＜0，所以x₁＜0＜x₂．
当x∈（0，x₂）时，f′（x）＞0；当x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，+∞）内不是单调函数，
所以a的最大值为0．
（II）由f（1）=1-a可得，当a＜1时，f（x）≤0不恒成立．
当a≥0时，由f′（x₂）=0可得a

x

22

=

x2+1

2

，
所以f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=lnx₂-

x2+1

2

+x₂=lnx₂+

x2

2

-

1

2

，
因为f′（1）=2（1-a）≤0，由（I）可得x₂≤1，并且f（x₂）是f（x）最大值，
所以f（x）≤f（x₂）=lnx₂+

x2

2

-

1

2

≤ln1+

1

2

-

1

2

=0．
所以a的取值范围为[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax2+x，（a＞0）（I）求a的最大值，使函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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