设函数f（x）=a3x3+b-12x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R．当x=x1时取得极大值，当x=x2时取得极小值．（I）若x1＜2＜x2＜4，求证：函数g（x）=ax2+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；（II-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=a3x3+b-12x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

a

3

x³+

b-1

2

x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R．当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

法一 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
因为f（x）当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．
所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，①

f′(4)=16a+4b-3＞0，②

所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-

b

2a

＞-1．
因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（Ⅱ）因为方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁?x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．
又|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．③
若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，则

f′(2)=4a+2b-1＜0

1-b＞0

所以4a+1＜2（1-b），
结合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞

1

12

或-a＜

1

4

．结合a＞0，得a＞

1

12

．
所以2（1-b）＞4a+1＞

4

3

，得b＜

1

3

．
所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．
法二 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，
当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，①

f′(4)=16a+4b-3＞0，②

由①得，-b＞2a-

1

2

．
因为a＞0，所以-

b

2a

＞1-

1

4a

．③
由

-8a-4b+2＞0

16a+4b-3＞0

结合③，得-

b

2a

＞-1．
因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1）上是单调减函数；
（Ⅱ）因为x₁?x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．
由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．
若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，则x₂＞4．
所以

f′(2)=4a+2b-1＜0，④

f′(4)=16a+4b-3＜0，⑤

得b＜

1

2

．
又因为|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．
根据④⑤得

(b-1)2＜(1-2b)2+1-2b

(b-1)2＜(

3

4

-b)2+

3

4

-b

得

b＜

1

3

或b＞1

b＜

5

8

结合b＜

1

2

，得b＜

1

3

；
所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=a3x3+b-12x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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