设函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2，a∈R．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）=bx2-（2b+1）x+lnx（b≠0，b∈R），若函数f（x）有极大值，且g（x）的极大值点与f（x-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2，a∈R．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f （x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²，a∈R．
（Ⅰ）若x=1是f （x）的极大值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=bx²-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函数f （x）有极大值，且g（x）的极大值点与f （x）的极大值点相同．当a＞-3时，求证：g（x）的极小值小于-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的极大值点，
故-

2a+3

3

＞1，
即a＜-3
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=

1

x

+2bx-（2b+1）=

(x-1)(2bx-1)

x

．
由于函数f （x）有极大值，故-

2a+3

3

≠1，即a≠-3．
当 a＞-3时，即-

2a+3

3

＜1，则f （x）的极大值点x=-

2a+3

3

，
所以，g（x）的极大值点x=

1

2b

，极小值点为x=1．
所以，

-

2a+3

3

=

1

2b

0＜

1

2b

＜1

?

-

2a+3

3

=

1

2b

b＞

1

2

，
此时，g（x）的极小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-

3

2

＜-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2，a∈R．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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