已知函数f（x）=13x3+12ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数g（x）=e-ax?f′-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3+12ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=e^-ax?f′（x），求函数g（x）的单调区间．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），
∴f'（x）=x²+ax+1．（1分）
∵f（x）在（1，0）处切线方程为y=3x-3，
∴

f′(1)=3

f(1)=0

，（3分）
∴a=1，b=-

11

6

．（各1分）（5分）
（Ⅱ）g（x）=e^-ax?f′（x）=

x2+ax+1

eax

，x∈R．
g'（x）=-x[ax+（a²-2）e^-ax]．（7分）
①当a=0时，g'（x）=2x，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	减函数	极小值	增函数

g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间（-∞，0）．（9分）
②当a＞0时，令g'（x）=0，得x=0或x=

2

a

-a（10分）
（ⅰ）当

2

a

-a＞0，即0＜a＜

2

时，

x

（-∞，0）

0

（0，

2

a

-a）

2

a

-a

（

2

a

-a，+∞）

g'（x）

-

0

+

0

-

g（x）

减函数

极小值

增函数

极大值

减函数

g（x）的单调递增区间为（0，

2

a

-a），单调递减区间（-∞，0），（-

2

a

-a，+∞）；（11分）
（ⅱ）当

2

a

-a=0，即a=

2

时，g'（x）=-2x²e^-2x≤0，
故g（x）在（-∞，+∞）单调递减；（12分）
（ⅲ）当

2

a

-a＜0，即a＞

2

时，

x

（-∞，

2

a

-a）

2

a

-a

（

2

a

-a，0）

0

（0，+∞）

g'（x）

-

0

+

0

-

g（x）

减函数

极小值

增函数

极大值

减函数

g（x）在（

2

a

-a，0）上单调递增，在（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）上单调递（13分）
综上所述，当a=0时，g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间（-∞，0）；
当0＜a＜

2

时，g（x）的单调递增区间为（0，

2

a

-a），单调递减区间为（-∞，0），
当a=

2

时，g（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）；
当a＞

2

时，g（x）的单调递增区间为（

2

a

-a，0），单调递减区间为（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）．（“综上所述”要求一定要写出来）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3+12ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：