已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R)（1）当0＜a≤12时，求f（x）的单调区间（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R)（1）当0＜a≤12时，求f（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)
（1）当0＜a≤

1

2

时，求f（x）的单调区间
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

4

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（x＞0），f′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

（x＞0）
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
当a≠0时，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
当a=

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈（1，

1

a

-1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（

1

a

-1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
综上所述：当a=

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，

1

a

-1）单调递增，（

1

a

-1，+∞）单调递减．
（2）当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时，g（x）min=g（2）=8-4b≤-

1

2

，b≥

17

8

．
综上，实数b的取值范围是[

17

8

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R)（1）当0＜a≤12时，求f（x）的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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