设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-1a)=f(1a)（a∈R，且a≠0），函数g（x）=ax3+bx2+cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-1a)=f(1a)（a∈R，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-

1

a

)=f(

1

a

)（a∈R，且a≠0），函数g（x）=ax³+bx²+cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上．
（1）试求a、b的值；
（2）若x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，求正整数c的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（-1）=f（1），∴|1-a|=2+|a+1|①
又f(-

1

a

)=f(

1

a

)，
∴|1-

1

a

|=|

1

a

+1|+2，即|1-a|=2|a|+|a+1|②
由①②得|a|=1，
∴a=±1．
又∵a=1时，①、②不成立，
故∴a=-1．
∴g（x）=-x³+bx²+cx，
设x₁、x₂是函数g（x）的两个极值点，则x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的两个根，△=4b²+12c＞0（c为正整数），
∴x₁+x₂=

2b

3

，
又∵A、O、B三点共线，
∴

-

x

31

+b

x

21

+cx1

x1

=

-

x

32

+b

x

22

+cx2

x2

，
∴（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，
又∵x₁≠x₂，
∴b=x₁+x₂=

2b

3

，
∴b=0．
（2）∵x≥0时，f（x）_min=2，
由g′（x）=-3x²+c=0得x=

c

3

，可知g（x）在(0，

c

3

)上单调递增，在(

c

3

，+∞)
上单调递减，g(x)极大值=g(

c

3

)=-

c

3

c

3

+c

c

3

=

2c

3

c

3

．
①由

c

3

≤1

2c

3

c

3

＜2

得c＜3，∴c的值为1或2．（∵c为正整数）
②

c

3

＞1时，记g（x）在x∈[1，

c

3

]上切线斜率为2的切点的横坐标为x₀，
则由g′（x）=-3x²+c=2得x0=

c-2

3

，依题意得g（x₀）＜f（x₀），∴-x03+cx0＜2x0， ∴x02＞c-2， ∴

c-2

3

＞c-2，得c＜2，与c＞3矛盾．
（或构造函数h（x）=2x-g（x）在x≥1上恒正）
综上，所求c的值为1或2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-1a)=f(1a)（a∈R，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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