已知函数f(x)=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（II）设函数g(x)=(p-x)e-x+1，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥lnx0成-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（I）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（II）设函数g(x)=(p-x)

e

-x

+1，若存在x₀∈[1，e]，使不等式g（x₀）≥lnx₀成立，求实数p的取值范围．（e为自然对数的底）

试题来源：金华模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），令f′（x）=0，得x=

1

a

，
所以在（0，

1

a

]上f′（x）≤0，在[

1

a

，+∞）上f′（x）≥0，
所以f（x）在（0，

1

a

]上单调递减，在[

1

a

，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，
所以

1

a

≤1，又a＞0，所以a≥1，
所以所求实数a的取值范围为[1，+∞）；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥(lnx0-1)ex0+x₀成立，
令h（x）=（lnx-1）e^x+x，从而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），
h′（x）=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
由（I）知当a≥1且x≥1时，f（x）=lnx+

1-x

ax

≥f（1）=0成立，
所以

1

x

+lnx-1≥0在[1，e]上成立，
所以h′（x）=(

1

x

+lnx-1)ex+1≥1+1＞0，
所以h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上单调递增，
所以h_min（x）=h（1）=1-e，
所以p≥1-e．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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