已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；（3）设各项为正的-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

试题来源：福建模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）递增
∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0
∴

1

x

+2x≥2

2

当且仅当x=

2

时取“=”，
∴b≤2

2

，
且当b=2

2

时，x∈(0，

2

)，f′(x)＞0，f′(

2

)=0，x∈(

2

，+∞)，f′(x)＞0
∴符合f（x）在（0，+∞）是增函数∴b∈(-∞，2

2

]
（2）设t=e^x，
∵x∈[0，ln2]
∴1≤t≤2，
则函数g（x）化为：y=t2+bt=(t+

b

2

)2-

b2

2

，t∈[1，2]
①当-

b

2

≤1时，即-2≤b≤2

2

时．y在[1，2]递增∴当t=1时，y_min=b+1
②当1＜-

b

2

＜2时，即-4＜b＜-2，当t=-

b

2

，ymin=-

b2

4

③当-

b

2

≥2，即b≤-4时，y在[1，2]递减，当t=2时，y_min=4+2b
综上：g(x)min=

4+2b

&b≤-4

-

b2

4

&-4＜b＜-2

1+b

&-2≤b≤2

2

（3）∵a₁=1，a₂=ln1+1+2=3＞1，a₃=ln3+3+2＞1
假设a_k≥1（n≥1），则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，∴a_n≥1成立
设F（x）=lnx-x+1，（x≥1），则F′(x)=

1

x

-1＜0
∴F（x）在[1，+∞]单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴lnx≤x-1
∴lna_n≤a_n-1，故a_n+1≤2a_n+1，∴a_n+1+1≤2（a_n+1）a_n+1+1≤2（a_n+1）≤2²（a_n-1+1）≤≤2ⁿ（a₁+1）=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1≤2ⁿ?a_n≤2ⁿ-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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