己知函数f（x）=（mx+n）e-x在x=1处取得极值e-1（I）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；（II）当．x∈（a，+∞）时，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：己知函数f（x）=（mx+n）e-x在x=1处取得极值e-1（I）求函数f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

己知函数f（x）=（mx+n）e^-x在x=1处取得极值e^-1
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．

试题来源：唐山一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e^-x，得
f′（x）=-（mx+n-m）e^-x．
依题意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即

(m+n)e-1=e-1

-ne-1=0

，解得m=1，n=0．
所以f（x）=xe^-x．
f′（x）=-（x-1）e^-x．
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以，函数f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），则g′（x）=2[f′（2x-a）-f′（x）]．
设h（x）=f′（x）=-（x-1）e^-x，则h′（x）=（x-2）e^-x．
当x∈（-∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x-a＞x，h（2x-a）＞h（x），即f′（2x-a）＞2f′（x），
所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，
即f（2x-a）+f（a）-2f（x）＞0．
（2）若a＜2，则当x∈（a，

a+2

2

）时，2x-a＞x，h（2x-a）＜h（x），即f′（2x-a）＜2f′（x），
所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．
综上，a的取值范围是[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知函数f（x）=（mx+n）e-x在x=1处取得极值e-1（I）求函数f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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