函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；（III）求证：20132012＜20122013．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

函数f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（III）求证：2013²⁰¹²＜2012²⁰¹³．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax²-x＜-x，
∴xlnx-ax²＜0，
∵x＞0，∴a＞

lnx

x

．
设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=

1

e

．
∴a＞

1

e

．
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）＞h（x+1），
∴

lnx

x

＞

ln(x+1)

x+1

，化为lnx^x+1＞ln（x+1）^x，
∴x^x+1＞（x+1）^x，
令x=2012，可得2012^201′3＞2013²⁰¹²．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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