已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；（2）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；（3）证明：(1+124)(1+134)…(1+1n4)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-1n（1+x²）
（1）当a=

4

5

时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）证明：当x＞0时，1n（1+x²）＜x；
（3）证明：(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=

4

5

时，f（x）=

4

5

x-ln(1+x2)，
∴f′（x）=

4

5

-

2x

1+x2

=

4x2-10x+4

5(1+x2)

，
由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=2，
∵f（x）在（0，

1

2

）上递增，在（

1

2

，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值为f（

1

2

）=

2

5

-ln

5

4

，f（x）极小值为f（2）=

8

5

-ln5．
（2）证明：令g（x）=x-ln（1+x²），
g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x²）＜x．
（3）证明：由（2）得ln（x²+1）＜x，
取x=

1

22

，

1

32

，…，

1

n2

，
∴ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln（1+

1

n4

）
＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

＜1，
∴(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（1）当a=45时，求函数f（x）在（0，+∞）上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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