已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=π3时，f（x）取得极小值π3-3．（1）求a，b的值；（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=π3时，f（x）取得极小值π3-3．（1）求a，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

a+

1

2

b=0

π

3

?a+

3

2

b=

π

3

-

3

，
∴a=1，b=-2，
此时f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，

π

3

）时，f′（x）＜0，
当∈（

π

3

，

π

2

）时，f′（x）＞0，
∴当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

，
即a=1，b=-2符合题意；
（2）证明：由f′（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，
当x=-

π

2

时，cosx=0，此时y₁=x+2=-

π

2

+2，y₂=x-2sinx=-

π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（-

π

2

，-

π

2

+2）是直线l与曲线S的切点；
当x=

3π

2

时，cosx=0，此时y₁=x+2=

3π

2

+2，y₂=x-2sinx=

3π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直线l与曲线S的切点；
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），因此直线l：y=x+2为曲线S：y=x-2sinx“上夹线”．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=π3时，f（x）取得极小值π3-3．（1）求a，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：