已知函数f（x）=x28-lnx，x∈[1，3]，（1）求f（x）的最大值与最小值；（2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x28-lnx，x∈[1，3]，（1）求f（x）的最大值与最小值；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x2

8

-lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）=

x2

8

-lnx，
所以f′（x）=

x

4

-

1

x

，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=

1

2

-ln2；
又f（1）=

1

8

，f（3）=

9

8

-ln3，
∵ln3＞1∴

1

8

-(

9

8

-ln3)=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为

1

8

，
x=2时函数取得最小值为

1

2

-ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x）≤

1

8

，
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4-at恒成立，
只要4-at＞

1

8

对任意t∈[0，2]恒成立，即at＜

31

8

恒成立
记 g（t）=at，t∈[0，2]
∴

g(0)＜

31

8

g(2)＜

31

8

，解得a＜

31

16

，
∴实数a的取值范围是（-∞，

31

16

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x28-lnx，x∈[1，3]，（1）求f（x）的最大值与最小值；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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