已知函数f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数）（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（II）若f（x）在x=-1时有极值，证明对任意的x1，x2∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数）（I）若函数f（x）的图象上有与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a为实数）
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）若f（x）在x=-1时有极值，证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

（I）∵函数f（x）的图象有与x轴平行的切线，
∴f′（x）=0有实数解则△=4a2-4×3×

3

2

≥0，a2≥

9

2

，
所以a的取值范围是(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-

1

2

；
由f′(x)＜0得-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；
单调减区间为(-1，-

1

2

)
∴f（x）的最大值为f(-1)=

25

8

，
f（x）的极小值为f(-

1

2

)=

49

16

，又f(0)=

27

8

∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，
最小值m=

49

16

∴对任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数）（I）若函数f（x）的图象上有与..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：