已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)（1）若y=f（x）的图象在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a²-2a+1=0，解得a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（2）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0．
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)（1）若y=f（x）的图象在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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