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1、试题题目：设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）当a=1时，f（x）=x|x2-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x3+x，
则f′（x）=-3x2+1=-3（x-
3
3
）（x+
3
3
），
令f′（x）=0，得x=
3
3
，x=-
3
3
，
∵±
3
3
∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-
3
3
）=-（-
3
3
）3-
3
3
=-
2
3
9
，
f（
3
3
）=(
3
3
)3-
3
3
=
2
3
9
，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为-
2
3
9
，最大值为
2
3
9
．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x3-ax，
∵f′（x）=3x2-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当x≥
a
或x≤-
a
时，f（x）=x3-ax，
因为f′（x）=3x2-a=3（x+
a
3
）（x-
a
3
），-
a
3
＞-
a
，
a
3
＜
a
，
所以，当x≤-
a
或x≥
a
时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为(-∞，-
a
)及(
a
，+∞)．
②当-
a
＜x＜
a
时，f（x）=-x3+ax，
f′（x）=-3x2+a=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)，
令f′（x）=0，得x=
a
3
，x=-
a
3
，
列表，得
 x （-
a
，-
a
3
）		-
a
3
 
（-
a
3
，
a
3
）		 
a
3
 （
a
3
，
a
）
 f′（x）-0 +0 -
 f（x）↓ 极小值↑ 极大值↓
∴f（x）的单调增区间为（-
a
3
，
a
3
），f（x）的单调减区间为(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-
a
)，(
a
，+∞)及(-
a
3
，
a
3
)，
f（x）的单调减区间为(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。


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