设函数f（x）=x2+aln（x+1）（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+aln（x+1）（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

x+1

，(x＞-1)，（2分）
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，(x＞-1)
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令t=2x2+2x=2(x+

1

2

)2-

1

2

，(x≥2)，则t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1）
∴

a＜0

aln1＞1+aln2

4-8a＞0

，解得a＜-log₂e
∴实数a的取值范围为（-∞，-log₂e）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+aln（x+1）（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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