已知在函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不-数学试题及答案

1、试题题目：已知在函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知在函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解，求实数k的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由题意可得

f(1)=-1+a+b+c=-2

f′(1)=-3+2a+b=-3

f′(-2)=-12-4a+b=0

，解得

a=-2

b=4

c=-3

，
经验证满足条件，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得x=

2

3

或-2．
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，f(

2

3

)=-

41

27

，f（1）=-2．
画出图象可知：当-11＜k≤-6或-2≤k＜-

41

27

时，f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解；
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，∴f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，
∴b≥

-3x2

x-1

在区间[-2，0]上恒成立．
令g(x)=

-3x2

x-1

，则g′(x)=

-3x(x-2)

x-1

≥0，
∴g（x）在区间[-2，0]上单调递增，得g（x）_max=0．
∴b≥0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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