已知f（x）=x3-ax在（-1，0）上是减函数（1）求a的取值范围（2）当a=3时，定义数列{an}：an+1=-12f（an）且-1＜a1＜0，是比较an+1与an的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x3-ax在（-1，0）上是减函数（1）求a的取值范围（2）当a=3时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x³-ax在（-1，0）上是减函数
（1）求a的取值范围
（2）当a=3时，定义数列{a_n}：a_n+1=-

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f（a_n）且-1＜a₁＜0，是比较a_n+1与a_n的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a，
∵f（x）在（-1，0）上是减函数，∴3x²-a≤0对x∈（-1，0）恒成立，
即3x²≤a对x∈（-1，0）恒成立．而y=3x²（-1＜x＜0）的值域为（0，3），
∴a≥3
（II）∵a_n+1=-

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f（a_n），∴a_n+1=-

1

2

（a_n³-3a_n），
∴2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1），
∵-1＜a₁＜0，∴a₁×（a₁+1）×（a₁-1）＞0，从而a₁-a₂＞0，∴a₁＞a₂∵-2a₂=a₁³-3a₁，且-1＜a₁＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜a₂＜0
又2（a₂-a₃）=a₂×（a₂+1）×（a₂-1）＞0，∴a₂＞a3猜想a_n+1＜a_n，
1°当n=1时，有-1＜a₁＜0
2°假设n=k时，-1＜a_k＜0
则∵-2a_k+1=a_k³-3a_k，且-1＜a_k＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜a_k+1＜0
即n=k+1时，-1＜a_n＜0也成立
综上得，-1＜a_n＜0，（n∈N^*）
又∵2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1）＞0，
∴a_n+1＜a_n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x3-ax在（-1，0）上是减函数（1）求a的取值范围（2）当a=3时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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