已知函数f（x）=4lnx-ax+a+3x（a≥0）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2ex-4x+2a，若存在x1，x2∈[12，2]，使f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=4lnx-ax+a+3x（a≥0）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a≥1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

（a≥0）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2e^x-4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

4

x

-a-

a+3

x2

=

-ax2+4x-(a+3)

x2

，（x＞0），令h（x）=-ax²+4x-（a+3），
（1）当a=0时，h（x）=4x-3，令h（x）＞0，得x＞

3

4

，此时f′（x）＞0；令h（x）＜0，得0＜x＜

3

4

，此时f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为（0，

3

4

]，增区间为[

3

4

，+∞）；
（2）当a＞0时，△=4²-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4），
①若a≥1，则△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
②若0＜a＜1，则△＞0，x1+x2=

4

a

＞0，x1x2=

a+3

a

＞0，∴x1=

2-

-(a-1)(a+4)

a

＞0，x2=

2+

-(a-1)(a+4)

a

＞0，
当x∈（0，x₁）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x₁，x₂）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当a=0时，f（x）的减区间为（0，

3

4

]，增区间为[

3

4

，+∞）．
当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（0，

2-

-(a-1)(a+4)

a

），（

2+

-(a-1)(a+4)

a

，+∞）；增区间为（

2-

-(a-1)(a+4)

a

，

2+

-(a-1)(a+4)

a

）．
当a≥1时，f（x）的减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≥1时，f（x）在[

1

2

，2]上单调递减，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

1

2

）=-4ln2+

3

2

a+6，
g′（x）=2e^x-4，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈[

1

2

，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在[

1

2

，2]上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2a，
由题意可知-4ln2+

3

2

a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，又a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，4）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=4lnx-ax+a+3x（a≥0）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a≥1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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