已知函数f(x)=ln(1+x)-ax1-x(a∈R)（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若数列{am}的通项公式am=(1+12013×2m+1)2013，m∈N*，求证：a1?a2…am＜3，(m∈N*)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln(1+x)-ax1-x(a∈R)（I）求函数f（x）的单调区间；（II）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若数列{a_m}的通项公式am=(1+

1

2013×2m+1

)2013，m∈N*，求证：a1?a2…am＜3，(m∈N*)．

试题来源：郑州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，函数的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，---（1分）
当a≤0时，注意到

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f′（x）＞0，
即函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；---（2分）
当a＞0时，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的两根x1=

a+2-

a2+8a

2

，x2=

a+2+

a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；
当a＞0时，函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2-

a2+8a

2

，x2=

a+2+

a2+8a

2

．--（6分）
（2）证明：当a=1时，由（1）知，函数f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

在（0，1）上为减函数，--（7分）
则当0＜x＜1时，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

＜f(0)=0，即ln(1+x)＜

x

1-x

，
令x=

1

2013×2m+1

(m∈N*)，则ln(1+

1

2013×2m+1

) ＜

1

2013×2m

，
即ln(1+

1

2013×2m+1

)2013＜

1

2m

，所以am=(1+

1

2013×2m+1

)2013＜e

1

2m

，---（10分）
又a_m＞0，所以a1?a2?…?am＜e

1

2

?e

1

4

…e

1

2m

=e 1-

1

2m

＜e＜3．----（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(1+x)-ax1-x(a∈R)（I）求函数f（x）的单调区间；（II）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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