已知函数f（x）=（x3+ax）ex，x∈R．（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间；（II）若f（x）在区间（0，1）上单调递减，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x3+ax）ex，x∈R．（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x³+ax）e^x，x∈R．
（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在区间（0，1）上单调递减，求a的取值范围．

试题来源：昆明模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=0时，f（x）=x³e^x
∴f'（x）=3x²e^x+x³e^x=x²（3+x）e^x，
令f^′（x）=0，解得x=0，或-3．
①当x＞-3时，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
②当x＜-3时，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）=x³e^x在（-∞，-3）为减函数，在（-3，+∞）为增函数．
（II）∵f'（x）=（3x²+a）e^x+（x³+ax）e^x=（x³+3x²+ax+a）e^x
由已知得（x³+3x²+ax+a）e^x≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≤-

x3+3x2

x+1

在（0，1）上恒成立．
令g(x)=-

x3+3x2

x+1

(x∈(0，1))．
则g′(x)=-

2x(x2+3x+3)

(x+1)2

=-

2x[(x+

3

2

)2+

3

4

]

(x+1)2

．
∵x∈（0，1），∴g^′（x）＜0．
∴函数g（x）在区间（0，1）上是减函数．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x3+ax）ex，x∈R．（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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