设函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、极值；（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值；
（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=-x²+4ax-3a²．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x

（-∞，a）

a

（a，3a）

3a

（3a，+∞）

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

递减

-

4

3

a³+b

递增

b

递减

由表可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为-

4

3

a³+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．
（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x

0

（0，a）

a

（a，3a）

3a

f′（x）

-

0

+

0

f（x）

b

递减

-

4

3

a³+b

递增

b

由表知：当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
∴当x=a时，f（x）的最小值为-

4

3

a³+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：