已知函数f(x)=ex1+ax2，其中a为正实数，x=12是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当b＞12时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ex1+ax2，其中a为正实数，x=12是f（x）的一个极值点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ex

1+ax2

，其中a为正实数，x=

1

2

是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当b＞

1

2

时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

试题来源：顺义区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（Ⅰ）因为x=

1

2

是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（

1

2

）=0，
因此，

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

，
经检验，当a=

4

3

时，x=

1

2

是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为

4

3

．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=

(

4

3

x2-

8

3

x+1)ex

(1+

4

3

x2)2

，
令f′（x）=0，得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
f（x）与f′（x）的变化情况如下：

x

（-∞，

1

2

）

1

2

（

1

2

，

3

2

）

3

2

（

3

2

，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

3

e

4

e

4

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，

1

2

），（

3

2

，+∞）．单调递减区间是（

1

2

，

3

2

）．
当

1

2

＜b＜

3

2

时，f（x）在[b，

3

2

）上单调递减，在（

3

2

，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（

3

2

）=

e

4

，
当b≥

3

2

时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）=

eb

1+ab2

=

3eb

3+4b2

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ex1+ax2，其中a为正实数，x=12是f（x）的一个极值点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：