已知函数f（x）=ax-ex（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-ex（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，求函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．

试题来源：许昌二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

x-ex，令f′（x）=

1

2

-e^x=0，x=-ln2
当x＜-ln2时，f′（x）＞0；当x＞-ln2时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-ln2），递减区间为（-ln2，+∞）．
（Ⅱ）证明：令F（x）=x-f（x）=e^x-（a-1）x，
（1）当a=1时，F（x）=e^x＞0，∴f（x）≤x成立；
（2）当1＜a≤1+e时，F′（x）=e^x-（a-1）=e^x-e^ln（a-1），
当x＜ln（a-1）时，F′（x）＜0；当x＞ln（a-1）时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（-∞，ln（a-1））上递减，在（ln（a-1），+∞）上递增，
∴F（x）≥F（ln（a-1））=e^ln（a-1）-（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]，
∵1＜a≤1+e，∴a-1＞0，1-ln（a-1）≥1-ln[（1+e）-1]=0，
∴F（x）≥0，即f（x）≤x成立．
综上，当1≤a≤1+e时，有f（x）≤x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-ex（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，求函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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