设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+18（a∈R）（1）判断f（x）在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+18（a∈R）（1）判断f（x）在定义域上的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+18（a∈R）
（1）判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的导数为f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）．
①若a=1，则f'（x）=6（x-1）²≥0恒成立，所以此时函数f（x）在R上单调递增．
②若a＞1，则由f'（x）＞0得x＞a或x＜1，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得1＜x＜a，此时函数f（x）单调递减．
③若a＜1，则由f'（x）＞0得x＞1或x＜a，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得a＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
综上，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．
若a＞1，f（x）在（a，+∞）和（-∞，1）上单调递增，在（1，a）上函数f（x）单调递减．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）和（-∞，a）上单调递增，在（a，1）上函数f（x）单调递减．
（2）由（1）知，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
若a＞1，因为f（1）=3a+17，由f（1）=3a+17=22得，a=

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．
当a=

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时，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
当1＜a＜

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时，f（1）＜f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
当a≥

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时，f（1）＞f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）=3a+17．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+18（a∈R）（1）判断f（x）在定义域上的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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