已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=

2

3

．
∵a＞0，∴x＜

2

3

或x＞2时，f′（x）＞0；

2

3

＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴当x=

2

3

时，f（x）有极大值32，即

8

27

a-

16

9

a+a=32，∴a=27．
（2）∵x＜

2

3

或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增
当

2

3

＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减
f（x）在（-∞，

2

3

）和（2，+∞）上是增函数，在（

2

3

，2）上是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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