设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|=621+sin2θ．-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，长轴长为6

2

，设过右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|=

6

2

1+sin2θ

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意可得

2a=6

2

c

a

=

2

b2=a2-c2

解得a=3

2

，c=3，b=3
∴所求椭圆M的方程为

x2

18

+

y2

9

=1
（Ⅱ）当θ≠

π

2

，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），则直线AB的方程为
y=k（x-3）有

y=kx-3k

x2

18

+

y2

9

=1

消去y得
（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有x₁+x₂=2k21+2k2，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[(

12k2

1+2k2

) 2-4×

18(k2-1)

1+2k2

]

=

6

2

(1+k2)

1+2k2

又因为k=tanθ=

sinθ

cosθ

代入上式得
|AB|=

6

2

1+sin2θ

当θ=

π

2

时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3

2

而当θ=

π

2

时，AB|=

6

2

1+sin2θ

=3

2

综上所述所以|AB|=|=

6

2

1+sin2θ

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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