如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，（Ⅰ）求证：AE⊥B1C；（Ⅱ）求异面直线AE与A1C所成的角；（Ⅲ）若G为C1C的中点，求二面角C-AG-E的正切值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中点，
（Ⅰ）求证：AE⊥B₁C；
（Ⅱ）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（Ⅲ）若G为C₁C的中点，求二面角C-AG-E的正切值。

试题来源：天津模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）因为BB₁⊥面ABC，AE

面ABC，
所以AE⊥BB₁，
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴AE⊥B₁C；
（Ⅱ）取B₁C₁的中点E₁，连接A₁E₁，E₁C，
则AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是异面直线AE与A₁C所成的角，
设AC=AB=AA₁=2a，
则

，

，
∴

，
∵在△A₁E₁C中，

，
所以异面直线AE与A₁C所成的角为

；
（Ⅲ）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连接EP，EQ，
则EP⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，
∴EP⊥平面ACC₁A₁，而PQ⊥AG，
∴EQ⊥AG，
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，
由EP=a，AP=a，

，得

，
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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