发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-19 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：不妨设正三角形ABC的边长为3。 （1）在图1中，取BE的中点D，连结DF。 ∵AE：EB=CF：FA=1：2， ∵AF=AD=2，而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1， ∴EF⊥AD 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角。 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE。 又BE∩EF=E， ∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。 （2）在图2中，∵A1E不垂直于A1B， ∴A1E是平面A1BP的斜线。 又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP， 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q， 则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EBP是等边三角形， ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q为BP的中点，且  。又A1E=1， 在Rt△A1EQ中，  ∴∠EA1Q=60° 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°。 |  |
| （3）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形， ∴PF=1 又  ∴PF=PQ。 ① ∵A1E⊥平面BEP，  ∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ② 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角。 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴  ∵MQ⊥A1P ∴  ∴  在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°， 由余弦定理得QF=  。在△FMQ中  ∴二面角B-A1P-F的大小为  。 |  |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。
