如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1。（1）求证：AQ⊥DQ；（2）求线段AD-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1。

（1）求证：AQ⊥DQ；
（2）求线段AD的最小值，并指出此时点Q的位置；
（3）当AD长度最小时，求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵平面ABCD⊥平面ADP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
由已知PQ⊥DQ，
∴AQ⊥DQ。
（2）设CQ=x，AD=y
由（1）得AQ⊥DQ
在Rt△AQD中，

∴

当且仅当x=1时取等号
所以AD最小值为2，此时CQ=1。
（3）易得DQ⊥平面PAQ，则平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，连接FD，则EF⊥平面PDQ
∴∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角
由已知得

，PQ=2
∴△PAQ为等腰直角三角形，
则可得

∴

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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