如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1ACC1⊥平面ABCD，∠ABC=∠A1AC=60°，点O为底面对角线AC与BD的交点。（1）证明：A1O⊥平面ABCD；（2）求二面角D-A1A-C的平-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1AC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC=∠A₁AC=60°，点O为底面对角线AC与BD 的交点。

（1）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的正切值。

试题来源：湖北省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由已知AB=BC=2，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，所以AC=2 因为点O为AC的中点，所以AO=1 又AA₁=2，∠A₁AO=60°，在△A₁OA中，由余弦定理，得所以所以A₁O⊥AC 因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，其交线为AC，所以A₁O⊥平面ABCD。
（2）因为底面ABCD为菱形， ∴BD⊥AC 又BD⊥A₁O， ∴BD⊥平面A₁ACC₁如图，过点O作OE⊥AA₁，垂足为E，连接DE，则AA₁⊥DE，所以∠DEO为二面角D-AA₁-C的平面角，在Rt△AOD中，在Rt△AEO中，在Rt△DOE中，故二面角D-AA₁-C的平面角的正切值为2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1AC..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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