如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

试题来源：浙江省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC的中点，
得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC，
因为PO∩BC=O，
所以BC⊥平面PAD，
故BC⊥PA。

（Ⅱ）解：如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M，连结CM，
由（Ⅰ）中知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC，
又AP

平面APC，所以平面BMC⊥平面APC，
在Rt△ADB中，AB²=AD²+BD²=41，得AB=

；
在Rt△POD中，PB²=PO²+OD²，
在Rt△PDB中，PB²=PD²+BD²，
所以PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6；
在Rt△POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又

，
从而

，
所以AM=PA-PM=3；
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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