如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点，(Ⅰ)求证：PE⊥CD；(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积；-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB= 90°， AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点，
(Ⅰ)求证：PE⊥CD；
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积；
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。

试题来源：北京模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：因为AD⊥侧面PAB，PE

平面PAB，
所以AD⊥PE，
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的巾点，
所以PE⊥AB，
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD，而CD

平面ABCD，
所以PE⊥CD。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：PE⊥平面ABCD，
所以PE是四棱锥P-ABCD的高，
由DA=AB=2，BC=

AD，可得BC=1，
因为△PAB是等边三角形，
可求得

，
所以，

。

(Ⅲ)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
则

，

，
设

为平面PDE的法向量，
由

，即

，
令x=1，可得

，
设PC与平面PDE所成的角为θ，

，
所以，PC与平面PDE所成的角的正弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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