如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC；(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

，点E是棱PB的中点．
(Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC；
(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

试题来源：重庆市高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，
又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，
而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB，
由题意知BC⊥AB，
又AB是PB在面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，
从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，
因为AE⊥PB，AE⊥BC，
所以AE⊥平面PBC．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，
得AD⊥平面 PAB，故AD⊥AE，
在Rt△PAB中，

1，
从而在Rt△DAE中，

，
在Rt△CBE中，

，
又

，
所以△CED为等边三角形，
取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE，
因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，
连结BF，则BF⊥CE，
所以∠BFD为所求的二面角的平面角，
连接BD，
在△BFD中，

，
所以，

，
故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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