如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AC=2，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，(Ⅰ)AF为何值时，CF⊥平面B1DF？(Ⅱ)设AF=1，求平面B1CF与平面-数学试题及答案

1、试题题目：如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上，
(Ⅰ)AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
(Ⅱ)设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。

试题来源：江苏模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=

，
以B点为原点，BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
因为AC=2，∠ABC=90°，所以

，
从而

，

，
所以

，
设AF=x，则

，

，
所以

，
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，
由

，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABC的法向量为

，
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），
则由

，得

，
令z=1得

，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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