如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，
(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算

的值；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

试题来源：湖北省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC，又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC， ∵NC平面ONC， ∴OA⊥NC，取Q为AN的中点，则PQ∥NC， ∴PQ⊥OA，在等腰△AOB中，∠AOB=120°， ∴∠OAB=∠OBA=30°，在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴，在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO， ∴NB=ON=AQ， ∴。
(Ⅱ)连结PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB，又ON平面OAB，∴OC⊥ON，又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC， ∴OP是NP在平面AOC内的射影，在等腰Rt△COA中，P为AC的中点， ∴AC⊥OP，根据三垂线定理，知AC⊥NP， ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角，在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴，在Rt△AON中，， ∴在Rt△PON中，， ∴。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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