如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，F为DC1的中点，(1)证明：BD⊥AA1；(2)证明：OF∥平面BCC1B1；(3)求二面角D--数学试题及答案

1、试题题目：如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点，
(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)证明：OF∥平面BCC₁B₁；
(3)求二面角D-AA₁-C的余弦值．

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，
∴四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又A₁O⊥平面ABCD，BD

平面ABCD，
∴A₁O⊥BD，
又∵AC∩A₁O=O，AC、A₁O

平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AA₁

平面A₁ACC₁，
∴BD⊥AA₁．

(2)连接BC₁，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中点，
又∵点F为DC₁的中点，
∴在△DBC₁中，OF∥BC₁，
∵OF

平面BCC₁B₁，BC₁

平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁。
(3)以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA₁所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
∵侧棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，
∴∠A₁AO=60°，在Rt△A₁AO中，可得AO=1，

，
在Rt△AOB中，

，
∴A(1，0，0)，

，
设平面AA₁D的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
∴

，
∵

，
∴

，令z₁=1，则

，
又∵BD⊥平面A₁ACC₁，
所以，平面A₁ACC₁的一个法向量为

，
∴

，
∵二面角D-AA₁-C的平面角为锐角，
故二面角D-AA₁-C的余弦值是

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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